Processo De Média Móvel Sempre Estacionário

4.2 Modelos estacionários lineares para séries temporais onde a variável aleatória é chamada inovação porque representa a parte da variável observada que é imprevisível dados os valores passados. O modelo geral (4.4) assume que é a saída de um filtro linear que transforma as inovações passadas, isto é, é um processo linear. Esta hipótese de linearidade baseia-se no teorema da decomposição de Wolds (Wold 1938) que diz que qualquer processo discreto de covariância estacionária pode ser expresso como a soma de dois processos não correlacionados, onde é puramente determinista e é um processo puramente indeterminista que pode ser escrito como linear Soma do processo de inovação: onde está uma seqüência de variáveis ​​aleatórias serialmente não correlacionadas com média zero e variância comum. A condição é necessária para a estacionaridade. A formulação (4.4) é uma reparametrização finita da representação infinita (4.5) - (4.6) com constante. Geralmente é escrito em termos do operador de defasagem definido por, que dá uma expressão mais curta: onde os polinômios de operador de retardamento e são chamados o polinômio e o polinômio, respectivamente. Para evitar a redundância de parâmetros, presumimos que não há fatores comuns entre o e os componentes. Em seguida, estudaremos o enredo de algumas séries temporais geradas por modelos estacionários com o objetivo de determinar os principais padrões de sua evolução temporal. A Figura 4.2 inclui duas séries geradas a partir dos seguintes processos estacionários calculados por meio do quantar genarma: Figura 4.2: séries temporais geradas por modelos Como esperado, ambas as séries temporais se movimentam em torno de um nível constante sem mudanças na variância devido à propriedade estacionária. Além disso, este nível está próximo da média teórica do processo, e a distância de cada ponto a este valor é muito raramente fora dos limites. Além disso, a evolução da série mostra desvios locais da média do processo, conhecida como o comportamento de reversão médio que caracteriza as séries temporais estacionárias. Estudemos com algum detalhe as propriedades dos diferentes processos, em particular, a função de autocovariância que captura as propriedades dinâmicas de um processo estacionário estocástico. Esta função depende das unidades de medida, portanto a medida usual do grau de linearidade entre as variáveis ​​é o coeficiente de correlação. No caso de processos estacionários, o coeficiente de autocorrelação a lag, denotado por, é definido como a correlação entre e: Assim, a função de autocorrelação (ACF) é a função de autocovariância padronizada pela variância. As propriedades do ACF são: Dada a propriedade de simetria (4.10), o ACF é geralmente representado por meio de um gráfico de barras nos retornos não negativos que é chamado de correlograma simples. Outra ferramenta útil para descrever a dinâmica de um processo estacionário é a função de autocorrelação parcial (PACF). O coeficiente de autocorrelação parcial com defasagem mede a associação linear entre os efeitos dos valores intermediários e é ajustado para eles. Portanto, é apenas o coeficiente do modelo de regressão linear: As propriedades do PACF são equivalentes às do ACF (4.8) - (4.10) e é fácil provar que (Box e Jenkins, 1976). Como a ACF, a função de autocorrelação parcial não depende das unidades de medida e é representada por meio de um gráfico de barras nos retornos não negativos que é chamado de correlograma parcial. As propriedades dinâmicas de cada modelo estacionário determinam uma forma particular dos correlogramas. Além disso, pode-se demonstrar que, para qualquer processo estacionário, ambas as funções, ACF e PACF, se aproximam de zero, já que a defasagem tende ao infinito. Os modelos não são sempre processos estacionários, por isso é necessário primeiro determinar as condições de estacionaridade. Existem subclasses de modelos que têm propriedades especiais, por isso vamos estudá-los separadamente. Assim, quando e, é um processo de ruído branco. Quando, é um processo de ordem móvel pura de ordem. , E quando se trata de um processo autoregressivo puro de ordem. . 4.2.1 Processo de Ruído Branco O modelo mais simples é um processo de ruído branco, onde é uma seqüência de variáveis ​​médias zero não correlacionadas com variância constante. É denotado por. Este processo é estacionário se sua variância é finita, dado que: verifica condições (4.1) - (4.3). Além disso, não está correlacionada ao longo do tempo, então sua função de autocovariância é: A Figura 4.7 mostra duas séries temporais simuladas geradas a partir de processos com média e parâmetros zero e -0,7, respectivamente. O parâmetro autorregressivo mede a persistência de eventos passados ​​nos valores atuais. Por exemplo, se, um choque positivo (ou negativo) afeta positivamente (ou negativamente) por um período de tempo que é maior quanto maior o valor de. Quando, a série se move mais rudemente em torno da média devido à alternância na direção do efeito de, ou seja, um choque que afeta positivamente no momento, tem efeitos negativos sobre, positivo em. O processo é sempre invertível e está parado quando o parâmetro do modelo é obrigado a ficar na região. Para provar a condição estacionária, primeiro escrevemos a forma média móvel pela substituição recursiva de (4.14): Figura 4.8: Correlatógrafos populacionais para processos Ou seja, é uma soma ponderada de inovações passadas. Os pesos dependem do valor do parâmetro: quando, (ou), a influência de uma determinada inovação aumenta (ou diminui) através do tempo. Tomando as expectativas para (4.15) para calcular a média do processo, temos: Dado que, o resultado é uma soma de termos infinitos que converge para todo o valor de apenas se, caso em que. Um problema semelhante aparece quando calculamos o segundo momento. A prova pode ser simplificada assumindo que, isto é,. Então, a variância é: Novamente, a variância vai para o infinito, exceto para, caso em que. É fácil verificar que tanto a média como a variância explodem quando essa condição não se mantém. A função de autocovariância de um processo estacionário é, portanto, a função de autocorrelação para o modelo estacionário é: Ou seja, o correlograma mostra um decaimento exponencial com valores positivos sempre se for positivo e com oscilações negativas positivas se for negativo (ver figura 4.8). Além disso, a taxa de decaimento diminui à medida que aumenta, portanto quanto maior o valor de mais forte a correlação dinâmica no processo. Finalmente, há um corte na função de autocorrelação parcial no primeiro retardo. Figura 4.9: Correlógrafos populacionais para processos Pode-se mostrar que o processo geral (Box e Jenkins, 1976): É estacionário somente se as raízes da equação característica do polinômio estiverem fora do círculo unitário. A média de um modelo estacionário é. É sempre invertible para quaisquer valores dos parâmetros. Seu ACF vai para zero exponencialmente quando as raízes de são reais ou com flutuações de onda seno-coseno quando elas são complexas. Seu PACF tem um corte no retardo, isto é. Alguns exemplos de Correlatos para modelos mais complexos, como o, pode ser visto na figura 4.9. Eles são muito semelhantes aos padrões quando os processos têm raízes reais, mas assumem uma forma muito diferente quando as raízes são complexas (veja o primeiro par de gráficos da figura 4.9). 4.2.4 Modelo de média móvel auto-regressivo O modelo de média móvel autorregressiva geral (ordens finitas) de ordens, é: Processo de média móvel sempre estático Movimento de processo médio sempre estático Nuvem de tags N opções binárias boas de forex dicas de sinais binários de negociação software binário indicador de opção v1 . Revisamos constantemente nossos sistemas e dados para garantir o melhor serviço possível ebook forex italiano gratis nossos clientes. Apostando a calculadora da fórmula de Kelly então lá um xposer do scam para ganhar sempre o binário do legit. A decisão poderia então ser reduzida em termos de dólar ea escolha feita facilmente. Randomly seguindo as pessoas no Twitter ou Soundcloud na esperança de que eles seguem apenas não é uma estratégia de longo prazo para o sucesso. 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Esse processo é chamado processo de auto-regressão de primeira ordem ou processo AR (1). É estacionário se o coeficiente a lt 1. Dado que E et 0 segue que sob a condição de estacionaridade a média do processo EYt-jzroi e variância varYy ja onde o2pound varet. Um processo AR (1) possui autocorrelações ps a para s gt 1. Uma representação mais geral do processo autorregressivo é e é chamada processo autorregressivo de ordem p, ou em resumo AR (p). 3.3.2. Processo de média móvel Considere o processo Yt definido por Yt é uma função linear das inovações presentes e imediatamente anteriores. Este processo é chamado de processo de média móvel de ordem 1 e denotado por MA (1). Comparando duas séries temporais vemos que um choque no processo MA (1) afeta Yt em dois períodos (apenas dois coeficientes de autocorrelação positivos), enquanto um choque no processo AR (1) afeta todas as observações futuras com um efeito decrescente. O processo MA (1) pode ser invertido para dar et como uma série infinita em Yt, Yt-i Assim, as séries temporais MA (1) podem ser representadas como processo AR (oo). É possível inverter o processo de MA (1) para um processo de AR estacionário somente se 3 lt 1. Esta condição é conhecida como condição de invariabilidade. Uma representação mais geral de um processo de média móvel é e é chamada de processo de média móvel de ordem q, ou em suma, MA (q). 3.3.3. ARMA É possível combinar a especificação da média autorregressiva e da média móvel no modelo ARMA (p q) Uma série temporal ARMA (p q) pode ser representada em uma forma mais curta usando a noção de operador lag. O operador de atraso L, é definido como LYt Yt-1, o operador que dá o valor anterior da série. Este operador também pode ser usado para representar os atrasos da segunda ordem ou superior da seguinte maneira: Em geral, o processo ARMA (pq) é Stationarity requer as raízes de A (L) para ficar fora do círculo unidade, e invertibility coloca o mesmo Nas raízes de B (L). Tabela 3.1: Padrões de correlação 3.3.4. Estimativa de processos ARMA Os modelos ARMA (p q) são geralmente estimados usando a técnica de máxima verossimilhança. Um aspecto frequentemente ignorado da estimativa da máxima verossimilhança dos modelos ARMA (p q) é o tratamento dos valores iniciais. Estes valores iniciais são os primeiros p valores de Yt e q valores de st em (3.3.1). A probabilidade exata utiliza a distribuição estacionária dos valores iniciais na construção da probabilidade. A probabilidade condicional trata os p valores iniciais de Yt como fixos e freqüentemente define os q valores iniciais de st para zero. As estimativas exatas de máxima verossimilhança (MLE) maximizam a exata log-verossimilhança, ea MLE condicional maximiza a probabilidade de log condicional. As MLEs exatas e condicionais são assintoticamente equivalentes, mas podem diferir substancialmente em amostras pequenas, especialmente para modelos que estão perto de serem não-estacionários ou não-invertíveis. Para modelos AR puros, as MLE condicionais são equivalentes às estimativas de mínimos quadrados. Critérios de Seleção do Modelo Antes de se poder estimar um ARMA (pq) para uma série de tempo Yt, as ordens p e q de AR e MA devem ser determinadas inspecionando visualmente a autocorrelação e Funções de autocorrelação parcial para Yt. If the autocorrelation function decays smoothly and the partial autocorrelations are zero after one lag, then a first-order autoregressive model is appropriate. Alternatively, if the autocorrelations were zero after one lag and the partial autocorrelations decay slowly towards zero, a first-order moving average process would seem appropriate. Alternatively, statistical model selection criteria may be used. The idea is to fit all ARMA(p q) models with orders p and q and choose the values of p and q which minimizes model selection criteria: where a 2(p q) is the MLE of varet a2 without a degrees of freedom correction from the ARMA(p q) model. Found a mistake Please highlight the word and press Shift EnterSTAT 497 LECTURE NOTES 3 STATIONARY TIME SERIES PROCESSES (ARMA PROCESSES OR BOX-JENKINS PROCESSES) 1. Presentation on theme: STAT 497 LECTURE NOTES 3 STATIONARY TIME SERIES PROCESSES (ARMA PROCESSES OR BOX-JENKINS PROCESSES) 1. Presentation transcript: 1 STAT 497 LECTURE NOTES 3 STATIONARY TIME SERIES PROCESSES (ARMA PROCESSES OR BOX-JENKINS PROCESSES) 1 3 AR(p) PROCESS Because the process is always invertible. To be stationary, the roots of p (B)0 must lie outside the unit circle. The AR process is useful in describing situations in which the present value of a time series depends on its preceding values plus a random shock. 3 4 AR(1) PROCESS where a t WN(0, ) Always invertible. To be stationary, the roots of ( B )1 B 0 must lie outside the unit circle. 4 5 AR(1) PROCESS OR using the characteristic equation, the roots of m 0 must lie inside the unit circle. B 1 B 6 AR(1) PROCESS This process sometimes called as the Markov process because the distribution of Y t given Y t-1,Y t-2, is exactly the same as the distribution of Y t given Y t-1. 6 15 THE SECOND ORDER AUTOREGRESSIVE PROCESS AR(2) PROCESS: Consider the series satisfying 15 where a t WN(0, ). 16 AR(2) PROCESS Always invertible. Already in Inverted Form. To be stationary, the roots of must lie outside the unit circle. OR the roots of the characteristic equation must lie inside the unit circle. 16 18 AR(2) PROCESS Considering both real and complex roots, we have the following stationary conditions for AR(2) process (see page 84 for the proof) 18 19 AR(2) PROCESS THE AUTOCOVARIANCE FUNCTION: Assuming stationarity and that a t is independent of Y t-k, we have 19 24 AR(2) PROCESS ACF: It is known as Yule-Walker Equations 24 ACF shows an exponential decay or sinusoidal behavior. 27 The p - th ORDER AUTOREGRESSIVE PROCESS: AR( p ) PROCESS Consider the process satisfying 27 where a t WN(0, ). provided that roots of all lie outside the unit circle 28 AR(p) PROCESS ACF: Yule-Walker Equations ACF: tails of as a mixture of exponential decay or damped sine wave (if some roots are complex). PACF: cuts off after lag p. 28 29 MOVING AVERAGE PROCESSES Suppose you win 1 TL if a fair coin shows a head and lose 1 TL if it shows tail. Denote the outcome on toss t by a t. The average winning on the last 4 tossesaverage pay-off on the last tosses: 29 MOVING AVERAGE PROCESS 31 MOVING AVERAGE PROCESSES Because, MA processes are always stationary. Invertible if the roots of q (B)0 all lie outside the unit circle. It is a useful process to describe events producing an immediate effects that lasts for short period of time. 31 32 THE FIRST ORDER MOVING AVERAGE PROCESSMA(1) PROCESS Consider the process satisfying 32 36 MA(1) PROCESS Basic characteristic of MA(1) Process: ACF cuts off after lag 1. PACF tails of exponentially depending on the sign of . Always stationary. Invertible if the root of 1 B0 lie outside the unit circle or the root of the characteristic equation m 0 lie inside the unit circle. INVERTIBILITY CONDITION: 39 THE SECOND ORDER MOVING AVERAGE PROCESSMA(2) PROCESS Consider the moving average process of order 2: 39 41 MA(2) PROCESS ACF ACF cuts off after lag 2. PACF tails of exponentially or a damped sine waves depending on a sign and magnitude of parameters. 41 42 MA(2) PROCESS Always stationary. Invertible if the roots of all lie outside the unit circle. OR if the roots of all lie inside the unit circle. 42 47 THE AUTOREGRESSIVE MOVING AVERAGE PROCESSESARMA (p, q ) PROCESSES If we assume that the series is partly autoregressive and partly moving average, we obtain a mixed ARMA process. 47 48 ARMA(p, q) PROCESSES For the process to be invertible, the roots of lie outside the unit circle. For the process to be stationary, the roots of lie outside the unit circle. Assuming that and share no common roots, Pure AR Representation: Pure MA Representation: 48 49 ARMA(p, q) PROCESSES Autocovariance function ACF Like AR( p ) process, it tails of after lag q. PACF: Like MA( q ), it tails of after lag p. 49Statistical Engineering Division, ITL Statistical process control (SPC) techniques are widely used in industry for process monitoring and quality improvement. Traditional SPC methodology is based on a fundamental assumption that process data are statistically independent. Process data, however, are not always statistically independent from each other. In the continuous industries such as the chemical industry, most process data are autocorrelated. Under such conditions, traditional SPC procedures are not effective and appropriate for monitoring, controlling, and improving process quality. To accommodate autocorrelated data, some SPC methodologies have been developed in recent years. One approach is to use a process residual chart. This procedure requires one to model the process data and obtain the process residuals. Assuming a true model, the residuals are statistically uncorrelated to each other. Then, traditional SPC charts such as X charts (Shewhart individual charts), CUSUM charts, and exponentially weighted moving average (EWMA) charts can be applied to the residuals. Use of a residual chart has the advantage that it can be applied to any autocorrelated data even if the data are from nonstationary processes. However, the residual charts do not have the same properties as the traditional charts. In addition, time series modeling is often awkward in the SPC environment. Although automatic-modeling algorithms can be used to obtain the process residuals, this approach often requires much effort in practice. The user of a residual chart must check the validity of the model over time to reduce the mixed effects of modeling error and process change. In this article, I propose a new SPC chart, the EWMAST chart, for stationary process data. The chart is constructed by charting the traditional EWMA statistic. The control limits are based on the approximate standard deviation of the EWMA, which has been analytically derived. This EWMAST chart does not require any time series modeling effort. I compare the EWMAST chart with the residual X chart and other charts via the average run length. Simulation study shows that the EWMAST chart performs better than the residual X chart, X chart, and other charts when the process autocorrelation is not very positively strong and the mean shifts are small to medium. In the accompanying figure, ARL of EWMAST chart with parameter 0.2 and the residual chart for AR(1) processes with phi 0.25, 0.5, 0.75, and 0.95 are plotted when the mean shifts are 0, 0.5, 1, 2, and 3 in the unit of process standard deviation. Solid lines with circles indicate the ARL of EWMAST charts while dot lines with asterisks indicate the ARL of the residual charts. The ARL are on a logarithmic scale with base 10. For a very wide range of autocorrelated data including uncorrelated data as a special case, I recommend to use the EWMAST chart with 3-sigma control limits and parameter 0.2 to monitor the process mean. This paper is published in Technometrics (1998), 40, 24-38. Figure 31: This figure shows the ARLs of the EWMAST and residual charts applied to AR(1) processes. Date created: 7/20/2001 Last updated: 7/20/2001 Please email comments on this WWW page to sedwwwnist. gov.